Διαφορική Γεωμετρία

Σε δύο προηγούμενα άρθρα γνωρίσαμε δύο κλάδους της γεωμετρίας, τη γεωμετρική τοπολογία και την αλγεβρική γεωμετρία. Το παρόν άρθρο πραγματεύεται τη διαφορική γεωμετρία, έναν κλάδο των μαθηματικών που χρησιμοποιεί τεχνικές της διαφορικής και ολοκληρωτικής ανάλυσης, γραμμικής άλγεβρας και πλειογραμμικής άλγεβρας για τη μελέτη προβλημάτων γεωμετρίας. Η θεωρία των καμπυλών και επιφανειών του επιπέδου και του χώρου στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο αποτέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη της διαφορικής γεωμετρίας, ενώ έχει εξελιχθεί πλέον σε ένα πεδίο που αφορά γενικότερα τις γεωμετρικές δομές σε διαφοροποιούμενες πολλαπλές ποικιλίες. Η διαφορική γεωμετρία σχετίζεται στενά με τη διαφορική τοπολογία και τις γεωμετρικές πλευρές της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων.

Μερικοί από τους κλάδους της διαφορικής γεωμετρίας είναι η γεωμετρία Riemann, η συμπλεκτική γεωμετρία, η διαφορική τοπολογία, κ.α. Οι εφαρμογές της διαφορικής γεωμετρίας ποικίλουν από τον ηλεκτρομαγνητισμό και τη γενική θεωρία της σχετικότητας, τη Lagrangian και Hamiltonian μηχανική, όπου συμπλεκτικές πολλαπλότητες χρησιμοποιούνται για τη μελέτη των Hamiltonian συστημάτων, μέχρι τα γραφικά των υπολογιστών και τη σχεδίαση με ηλεκτρονικό υπολογιστή.

Οι αρχές της διαφορικής γεωμετρίας πάνε πίσω στον C.F. Gauss, ο οποίος αναρωτήθηκε αν μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν ακριβή χάρη ενός μέρους του πλανήτη μας. Πολλοί από τους όρους της σύγχρονης διαφορικής γεωμετρίας πηγάζουν από τους χαρτογράφους της τότε εποχής.

Μία βασική έννοια στη διαφορική γεωμετρία, τόσο για τη μελέτη των καμπυλών όσο και των επιφανειών, είναι αυτή της καμπυλότητας. Με απλά λόγια η καμπυλότητα είναι ένα μέτρο απόκλισης ενός γεωμετρικού αντικειμένου, όπως μία καμπύλη ή μία επιφάνεια, από την ευθεία ή το επίπεδο αντίστοιχα. Στην απλή περίπτωση του κύκλου, η καμπυλότητά του είναι το αντίστροφο της ακτίνας του. Μια άλλη σημαντική έννοια είναι αυτή της γεωδαισιακής. Η γεωδαισιακή είναι η διαδρομή εκείνη μεταξύ δύο σημείων μιας επιφάνειας (στην αρχική σύλληψη της ιδέας η επιφάνεια αυτή ήταν κύκλος) με το μικρότερο μήκος. Ο υπολογισμός των γεωδαισιακών είναι σημαντικός στην κίνηση των δορυφόρων.

Κατηγορία: